Research Goal & fields

본 센터는 창의적인 집단연구를 통해 응용대수 및 최적화를 주제로 상호연관 분야들 간의 크로스오버를 통한 수학이론 연구와 데이터해석 알고리듬 및 최적화 연구의 선도 과학 집단 육성을 목표로 하고 있다. 수학적 연구분야는 행렬론, 조합론, 그래프이론, 행렬해석, 최적화이론, 부호론, 암호론, 정수론 등과 이러한 이론들이 적용되는 데이터 과학과 정보보안분야 등을 포함한다. 본 센터는 특히, 빅데이터 분석과 효율적인 알고리즘을 구현하는 최적화 연구와 조합적인 대상사이의 연관관계에 대한 연구에 초점을 맞추고 있다.

조합적 구조 및 알고리듬 연구팀

참여연구진 : 천기상, 김서령, 김정한, 김장수

조합 및 그래프이론은 순수수학 그 자체뿐만 아니라 수학을 도구로 하는 다양한 학문 분야와의 활발한 연구로 그 중요성이 더욱 커지고 있다. 현재 또는 미래 인터넷을 설명할 수 있는 여러 가지 그래프 모델을 분류하기 위해서는 그 모델들을 상호 비교할 수 있어야 한다. 인터넷 그래프의 Scale-free 현상이 밝혀진 이후 Erdos와 Renyi가 제안한 고전적인 랜덤그래프 모델과는 다른 많은 랜덤그래프 모델들이 제시되었고 그 모델들에 대한 고찰과 연구가 진행되고 있다. 이에 따라 여러 가지 방법으로 정의된 랜덤그래프 모델들이 Erdos-Renyi 모델과는 얼마나 다른지 판별하는 방법은 매우 중요하다. 따라서 랜덤그래프 모델들을 비교하여 서로 다름 또는 같음을 분별하는 방법을 연구할 예정이다.

경쟁그래프는 유향그래프인 네트워크 구조의 심층적 모델링을 가능하게 하는 이론이기 때문에, 고차원 데이터 분석에 획기적인 접근법을 제시할 수 있을 것이며 많은 적용 분야의 후속 연구들이 파생될 수 있을 것이다. 특히, 네트워크 관계의 일차적 모델링으로 부터 교차 그래프, 경쟁그래프 등 이차적 구조 패턴을 모델링하는 새로운 그래프 구조화를 이용한 분석방법과 적용 연구가 더욱 촉진될 것으로 보인다. 현재 그래프 이론을 데이터 구조에 적용한 연구들이 일차적 모델링을 이용한 것에 그치고 있는 경우가 많으므로, 숨겨진 구조를 다시 네트워크로 모델링하여 변수들에 대한 여러 차원의 모델을 구축하는 새로운 접근법은 그래프 이론의 적용 연구에 새로운 방향을 제시할 수 있을 것이다.

행렬해석과 최적화이론 연구팀

참여 교수 : 윤상운, 임용도, 허석문, 정윤모

고전해석학에서 중요한 역할을 하는 실수의 개념은 행렬의 비가환 해석학분야로 자연스럽게 확장된다. 행렬이론은 순수 및 응용수학 분야뿐만 아니라 수치적 계산법을 바탕으로 하는 경제, 의⋅공학, 빅데이터 및 기계학습 분야에서 필요불가결하게 그리고 핵심적으로 나타나는 중요한 수학이론 중 하나이다. 최근 국제적으로 급부상하고 있는 행렬관련 중요 연구 분야는 대용량 행렬 데이터 분석과 계산, 행렬 데이터 공간의 위상 및 기하학 구조 연구와 무게중심이론, 행렬텐서 분해법 등이 있다. 이러한 연구 분야들에서 행렬 데이터의 구조 해석과 효율적 계산을 위한 최적화 이론들이 필요불가결하게 등장하고 있으며 반대로 이러한 응용성으로 말미암아 행렬관련 순수이론들이 발전되어 왔다.

특히, 빅데이터 해석, 무선네트워크 위치계산, 데이터영상화, 인터넷 토모그라피 등의 IT분야와 3차원 분자구조 및 단백질구조 예측, 유전자 네트워크분석 등 BT 디자인분야 등에서 행렬분해법과 계산법, 그리고 최적화 이론이 핵심 기법으로 사용되고 있으며 수학적 이론으로서 확실하게 자리매김 되고 있다. 이에 초기 연구로서 행렬 데이터 기반 최적화 모델링 이론개발 및 이를 수치적으로 구현할 수 있는 새로운 효율적인 알고리듬을 디자인하고, 계산속도와 정확성을 높이기 위하여 발전된 분석을 통해 알고리듬 패키지개발을 추진할 예정이다.

또한 빅데이터, 기계학습, 영상처리에 응용하고 이들 분야에 필요한 수학이론 및 방법론을 연구할 예정이다. 한편, 데이터의 행렬적 관점에서의 특성과 행렬 데이터의 위상 및 기하적 구조(행렬 다양체)를 이용한 수학적 최적화 모델을 고안 및 분석하고, 새롭고 효율적인 최적화 방법에 대한 이론연구가 매우 중요하다. 이는 선형적 평면기하의 방법론의 한계를 벗어나지 못한 기존 데이터 해석 및 계산법 연구에 돌파구를 마련 할 수 있기 때문이다.

알고리드믹 수론 연구팀

참여 교수 : 김창헌, 권순학, 년푸중

보형형식은 수론이나 조합론, 쌍곡기하학, 에르고딕 이론, 수리물리 등 다양한 분야에서 강력한 도구로 사용되어 왔다. 이러한 유용성 때문에 고전적인 보형형식을 포함하는 새로운 이론의 필요성이 오랫동안 요구되어 왔다. 목보형형식 및 약한 조화 Maass 형식은 이러한 요구에 부합하는 보형형식으로 아직 밝혀지지 않은 많은 현상들을 설명할 수 있는 중요한 도구이다. 최근 필즈상을 수상한 테렌스 타오, 린덴스트라우스 등은 에르고딕 이론을 이용하여 수론의 고전적인 문제들을 풀어 에르고딕 이론과 수론이 밀접하게 관련돼 있음을 입증하였고, 이 때 보형곡선 및 보형형식이 중요한 도구로 사용되었다. 소수의 분포, Littlewood 추측, Sarnak 추측 등은 에르고딕 이론과 수론과의 신비한 관련성을 보여주는 예이다. 더욱이 유한체 위에서 보형곡선 및 대수곡선에 관한 연구는 암호 및 부호이론 연구 분야 전반에 커다란 파급 효과를 끼쳐 이에 관한 연구들은 정보통신 및 데이터 보안기술의 핵심이론이 될 수 있다.